皮奥拉基尔霍夫应力

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• 1、非线性弹性力学的几何方程

非线性弹性力学的几何方程

最佳答案非线性弹性力学的几何方程(6)和(7)是关于位移偏导数的非线性方程,所以是几何非线性的。而方程(8)和(9)是线性弹性力学中的几何方程。在非线性弹性力学中(6)和(7)是有区别的，而在线性弹性力学中(8)和(9)没有区别。

非线性弹性力学中的物理意义、数学意义与线性弹性力学中的相同。但由于几何方程比较复杂，故需要采用张量的方法，利用黎曼曲率张量在欧氏空间中为零的条件导出应变协调方程。

应力和平衡方程在变形后的构形上定义应力是最自然的，这种应力称为柯西应力(或欧拉应力)。但因变形后的构形是未知的(待求的），故取变形前的构形上单位面积的面力作为应力的定义，这种应力称为皮奥拉应力（或拉格朗日应力、第一皮奥拉-基尔霍夫应力）。由于是非对称的，故又定义对称的应力，称为基尔霍夫应力（或第二皮奥拉-基尔霍夫应力）。此外还有另一种对称的应力杠，称为对流应力。是真实应力，、和杠是名义应力。非线性弹性力学中,有上述四种应力，而线性弹性力学中只有一种应力。在线性化的近似假设下，非线性弹性力学的四种应力都化为一种应力，即线件弹性力学中应力。

由于有多种形式的应力。所以相应地有多种形式的动力学方程，它们都描述变形后物体构形中微体的动g量守恒条件和动量矩守恒条件。由于、、杠和中含有变形梯度，故在平衡微分方程中含有位移的偏导数，而在线性弹性力学中，平衡微分方程不含位移偏导数。由于平衡方程中应力与位移耦合，所以非线性弹性力学同线性弹性力学相比在数学处理上要繁难得多。

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